الفهرس 
Mathematical PreliminariesOnly 14 pages are availabe for public view
 |  | from | 151 |  |  |
| | | from | 151 | | |
Abstract
المعادلات التكاملية عامة بأنواعها المختلفة هى واحدة من أهم الدراسات فى علم الرياضيات عامة والفيزياء الرياضية والهندسية خاصة وتحتل المعادلات التكاملية بنظرياتها وتطبيقاتها بانواعها المختلفة سواء كانت هذه المعادلات خطية او غير خطية , متجانسة أو غير متجانسة مكانة هامة فى حل المشاكل الناتجة من الرياضيات التطبيقية على وجه العموم والعلوم الأساسية على وجه الخصوص.
ونتيجة للتطور الهائل فى العلوم المختلفة نجد انه أمكن بلورتها فى شكل معادلات تكاملية تربيعية أو ما فوقها من القوى. وهذا النوع من المعادلات يلعب دورا خطيرا فى تفسير ظواهر التركيبة الوراثية سواء للانسان او للاحياء على وجه العموم او فى التطور الجينى فى علم الزراعة . اضف الى ذلك الدور البارز التى َتلعبه هذه المعادلات فى حل كثير من المشاكل الفيزيائية والتى يطلق عليها العلاقات الطيفية لتداخل الاشعة الكونية المختلفة وكذلك فى حل مسائل ديناميكا الاتصال والمشاكل الموجودة في الاهتزازات الميكانيكية والمجالات الهندسية.
ومن ثم يمكن القول ان علم المعادلات التكاملية سواء كانت الانوية الخاصة بها متصلة او شاذه بانواعها المختلفة ( ضعيفة الشذوذ, نواة كوشى بأنواعها, النواة قوية الشذوذ, النواه فوق قويه الشذوذ بدرجاتها المختلفة) تصف العديد من المشاكل العلمية على سبيل المثال، فى الفيزياء الرياضية والطب والكيمياء والجيوفيزياء والبيولوجيا وميكانيكا
الكم والكهروستاتيكا وعلم الوراثة السكاني وعلم الأحياء والمشاكل الاقتصادية وكثير من المشاكل الموجودة فى الصناعة مثل صناعة السيراميك ومحاولة زيادة مقاومته وغيرها يمكن تمثيلها بمعادلات تكاملية تربيعية (Quadratic integral equations) ذات نواه متصلة او غير المتصلة بأنواعها المختلفة.
فى هذه الرسالة استعراض بعض الحلول للمعادلات التكاملية وبالاخص المعادلات التكاملية التربيعية الناشئة من مشاكل العلوم سالفة الذكر, متبعين الطريق العلمى التالى:-
أولاً: مناقشة وجود حلول وحیده أو مناقشة على الاقل وجود حل لبعض المعادلات التكاملية التربيعية في ضوء الرياضيات البحتة باستخدام طریقة بیكارد (Picard method) ونظریة باناخ للنقطة الثابتة ((Banach’s fixed point theorem ونظرية داربوا للنقطة الثابتة (Darbo’s fixed point) ونظرية تيكنوا للنقطة الثابتة (Tychonoff’s fixed point) مع نظرية (Arzela-Ascoli Theorem) وهنا استخدمنا علم التحليل الدالى ونظريات القياس فى الوصول للمطلوب.
ثانياً: استخدمنا الطرق العددية للحصول على حلول تقريبية لبعض المعادلات التكاملية التربيعية من خلال برامج الكمبيوتر لعمل مقارنة بين النتائج التحليلية والنتائج التقريبية وحساب الخطأ النسبى.
الرسالة مكونه من (136) صفحه بالأضافة الى مقدمة باللغة الانجليزية وملخص باللغة العربية. وتحتوى الرسالة على أربعة أبواب رئيسية بالإضافة الى قائمة المراجع وعددها (60). النتائج التى تم الحصول عليها من هذه الرسالة معروضة فى خمسة مقالات منهم 3 مقالات تم نشرهم فى مجلات معتمدة ومقالة تم تقديمها للنشر، ومقالة تم قبولها للنشر فى مجلة ذو التأثير العالمى .
وتنقسم ابواب الرسالة كألآتى:-
الباب الأول:
في هذا الباب تم عرض بعض التعريفات والنظريات الأساسية والتي يعتمد عليها ما سيعرض فى باقي الأبواب الأخرى. حيث استعرض الباحث بعض النظريات المهمة فى التحليل الدالى ونظرية القياس. ايضا، تم تعريف وذكر بعض انواع المعادلة التكاملية التربيعية. أخيرًا، ذكر الباحث بعض نظريات النقطة الثابتة المهمة والتى ستكون محل دراسة بالتفصيل على المعادلات التكاملية التربيعية، كما أن الباحث أسس الحل العام لمعادلة فولتيرا- فريدهولم التكاملية بنواة غير متصلة في فضاء باناخ، وباستخدام طريقة فصل المتغيرات تم تقليل المشكلة إلى معادلات فولتيرا التكاملية من النوع الثاني.
الباب الثاني:
تم مناقشة وجود ووحداوية الحل لاحدى انواع المعادلات التكاملية التربيعية (QIEs). ذات نواة شاذه معممة. وتحت ظروف خاصة للنواة تمكن الباحث من اثبات ان هذا النوع من النواة الشاذة يتحول إلى نواة لوغاريتمية. ولدراسة حل هذا النوع من المعادلات التكاملية التربيعية الشاذة (SQIE) استخدم الباحث كثيرات حدود تشبشيف (Chebyshev) كدوال ذاتية لدالة الحل ومن ثم تمكن الباحث من تمثيل الحل كنظام جبرى يمكن منه الحصول على القيم الذاتية. ومن ثم تم تحديد العلاقات الطيفية الرئيسية واستخدامها للحصول على حل المعادلة التكاملية التربيعية مع النواة اللوغاريتمية والنواة المتصلة Smooth)). كما تم ايضا, مناقشة وتحليل التقارب للطريقة المطبقة على هذا النوع من المعادلات، وقد تم تقدير الحد الأقصى للخطأ المطلق لحل سلسلة أدميان (Adomian).
الباب الثالث:
فى هذا الباب تم مناقشة المعادلات التربيعية (Quadratic IEs) من النوع الثاني مع فترة تأخر المرحلة (Phase-Lag term).ثم تم اثبات وجود ووحداوية الحل لهذا النوع من المعادلات وحيث إعتمد الاثبات على مزيج من نظرية (Darbo’s fixed point) وتقنيات (Measures of noncompactness). كما تم استخدام طريقة (Homotopy perturbation method) للحصول على الحل التقريبي للمعادلة التكاملية التربيعية مع فترة تأخر المرحلة. ايضا تم الحصول على تقارب وتقدير الخطأ لهذه الطريقة العددية. أخيرًا، تم توفير شروط كافية لوجود حلول مستمرة للمعادلات التكاملية التربيعية وهذا يعتمد على نظريات هامة فى التحليل الدالى (Tychonoff’s fixed point) مع (Arzela-Ascoli Theorem) .
الباب الرابع:
في هذا الباب الأخير، تم تطبيق الطرق العددية الموضحة في الرسالة على العديد من الأمثلة وذالك لتوضيح الدقة والكفاءة وسهولة الأداء للطرق المستخدمة. وتم ايضا الحصول على الحلول التقريبية للمعادلات التكاملية التربيعية، وبينا النتائج الدقيقة والتقريبية وعرض الخطأ الناتج عن استخدام الحل العددي باستخدام الجداول والأشكال.
النتائج التي تم الحصول عليها من الرسالة معروضة فى خمسة مقالات:
1- M. A. Abdou, A. A. Soliman, M. A. Abdel-Aty, On a discussion of Volterra-Fredholm integral equation with discontinuous kernel, J. Egypt Math. Soc., 28(11) (2020).
2- M. A. Abdou, A. A. Soliman, M. A. Abdel-Aty, Analytical results for quadratic integral equations with phase-lag term, Journal of Applied Analysis and Computation, 20(4) (2020), 1588–1598.
3- M. A. Abdou, A. A. Soliman, M. A. Abdel-Aty, Solvability of Quadratic Integral Equations with Singular Kernel, Journal of Contemporary Mathematical Analysis, 57(1) (2022), 3–15.
4- M. A. Abdou, A. A. Soliman, M. A. Abdel-Aty, A New Techniques Applied to Nonlinear Quadratic Integral Equations, Indian J. of Science&Technology.
5- M. A. Abdou, A. A. Soliman, M. A. Abdel-Aty, Analytical and Numerical Discussion for the Quadratic Integral Equations, Filomat.
أعمال المستقبل
i. يمكننا حل المعادلات التكاملية التربيعية ببعض الطرق التالية: طريقة كثيرات الحدود المتعامدة وطريقة تحويل فورييه وطريقة كرين. والتعامل مع الانوية سواء كانت شاذة ام متصلة. قد يستخدم الباحث مستقبلا نظرية الاضطراب لدراسة تقارب الحلول و ما ينتج عنها من نبضات ترددات متواترة وبالخصوص فى علم الانظمة الديناميكية.
ii. يمكن استخدام الطرق المقدمة لإيجاد الحل التقريبي للمعادلات التكاملية التربيعية في متغيرين.
iii. يمكننا مناقشة المعادلات التربيعية التكاملية التفاضلية عندما يأخذ المصطلح التفاضلي حالة التفاضل الجزئي.