الفهرس 
CHAPTER 1Only 14 pages are availabe for public view
 |  | from | 141 |  |  |
| | | from | 141 | | |
Abstract
تعد النماذج الرياضية أدوات قابلة للتطبيق في تحليل انتشار الأمراض المعدية ومكافحتها. يتم استخدام النماذج الرياضية لتوضيح كيفية إنتقال الأمراض المعدية بشكل متزايد لتوجيه سياسة الصحة العامة. إن العلاقة بين بيولوجيا المرض المعدي وعملية انتقاله والرياضيات المستخدمة لوصفها ليست واضحة دائمًا في الأبحاث المنشورة. هناك حاجة إلى فهم هذا الارتباط للتفسير النقدي لهذه المنشورات وتوصيات السياسة والاستنتاجات العلمية الواردة فيها [1].تصف هذه الرسالة بيولوجية عملية إنتقال الأمراض وكيف يمكن تمثيلها رياضيا. ويوضح كيف يؤدي هذا التمثيل إلى نموذج رياضي لأوبئة الأمراض المعدية كمعادلات تفاضلية للتاريخ الطبيعي والبيئة المرضية الأساسية. يؤدي الوصف الرياضي لأوبئة الأمراض على الفور إلى العديد من النتائج المفيدة، بما في ذلك الحجم المتوقع للوباء والمستوى الحرج المطلوب للتدخل لتحقيق السيطرة الفعالة على الأمراض؛ على سبيل المثال، النماذج الوبائية الحساسة للعدوى (SI)، والنماذج الوبائية الحساسة للعدوى المتعافية (SIR)، والنماذج الوبائية المعرضة للعدوى (SEI) والنماذج الوبائية المعرضة للعدوى والمتعافية (SEIR)، (انظر على سبيل المثال [2, 3, 4]).تتناول هذه الرسالة جزئيتين؛ الجزئية الأولى تلقي بعض الضوء على دراسة الاستقرار العالمي لنموذج SI في وجود أكثر من متحور للمرض وكذلك تم دراسة هذا النموذج مع وجود فئات عمرية مختلفة في وجود متحور واحد فقط من المرض بدون التطعيم أو بوجوده على النحو التالي: قمنا بحساب نقطة التوازن الخالي من الأمراض disease free equilibrium (DFE) ( ) و endemic equilibrium points ( ). جزء من التحقق من الاستقرار هو رقم التكاثر الأساسي ( or ), ، والذي يُعرف بأنه عدد الإصابات الثانوية التي يسببها فرد مصاب في مجتمع كامل. يمكن أن يوجد DFE فقط عندما يكون ( or ) أقل من واحد ويمكن أن يوجد فقط عندما يكون ( or ) أكبر من واحد. أما الجزئية الثانية فقد خصصت لإلقاء بعض الضوء على سلسلة ماركوف للسير العشوائي أحادي البعد على خط الأعداد الحقيقية كتطبيق للنماذج الرياضية المعدية ، مثل نماذج SIR وSEI وSEIR. سوف نقوم بمعالجة نوعين من المصفوفات ثلاثية الأقطار ذات حد وحيد وهي مصفوفة ثلاثية الأقطار ذات حد كعمود أول (First column singly bordered tridiagonal matrix):,ومصفوفة ثلاثية الأقطار ذات حد كعمود أخير (Last column singly bordered tridiagonal matrix):نلاحظ أن عناصر المصفوفتين و موجبة ومجموع كل صف يساوي الواحد؛ أي أن تسمي مصفوفتان عشوائيتين. العناصر الغير صفرية في المصفوفتين تقع علي: القطر الرئيسي، القطر الأعلي منه مباشرة، القطر الأسفل منه مباشرة ، العمود الأول والعمود الأخير الناشئة ، عن السير العشوائي لسلسلة ماركوف غير المتجانسة علي فراغ الحالة . تعتمد حساباتنا للحصول على المصفوفة الأساسية، ومتوسط زمن المرور الأول (MFPT’s)، واحتمالات الحالة الثابتة على تقسيم TPM إلى أربع مصفوفات فرعية؛ عنصر واحد، متجه صف، متجه عمود ومصفوفة ثلاثية الأقطار. تنظيم الرسالة:تتكون هذه الرسالة من ملخص للرسالة يليها ثلاثة أبواب وخاتمة لتوضيح ما تم إنجازه في الرسالة مع بعض المقترخات لأعمال مستقبلية ممكنة وقائمة بالمراجع والأبحاث المستخدمة، وفيما يلي نبذة مختصرة لمحتويات أبواب الرسالة.الباب الأول: مقدمة و حقائق أساسية يحتوي هذا الفصل على مراجعة مختصرة لبعض المفاهيم والرموز الأساسية المستخدمة في الفصول اللاحقة. الرسالة مقسمة إلى أربعة أقسام. القسم الأول ”الأنظمة الديناميكية”، يحتوي هذا القسم على تعريفات الأنظمة الديناميكية المنفصلة والمستمرة للزمن. أما القسم الثاني ”مفاهيم الاستقرار”، فيتضمن رموز الاستقرار المحلي والعام وأنواع نقاط التوازن وLypunov function و Lypunov direct method للاستقرار العام. أما القسم الثالث، ”نماذج الأمراض المعدية”، فقد قمنا بتحليل الاستقرار المحلي لنماذج الأمراض المعدية؛ SI وSEI وSIR بالتطعيم أو بدونه ودراسة الاستقرار المحلي والعام لنموذج SEIR. القسم الأخير من هذا الفصل، ”الرموز الأساسية لسلاسل ماركوف”، والذي يحتوي على بعض الرموز الأساسية ومفاهيم العمليات العشوائية وسلاسل ماركوفستكون مفيده جدًا للفصل الثالث. الباب الثاني: تحليل الاستقرار علي بعض نماذج الأمراض المعدية الهدف من هذا الفصل هو دراسة الاستقرار العام باستخدام function direct lyapunov لنموذج SI للأمراض المعدية في وجود أكثر من تحور للمرض و أيضا تم دراسة هذا النموذج في وجود فئات عمرية مختلفة لتحور واحد فقط في وجود التطعيم أو بدونه. تم إجراء عمليات المحاكاة العددية لدعم النتائج التحليلية باستخدام برنامج المابل.الباب الثالث: بعض نماذج الأمراض الوبائية كسلاسل ماركوف يخصص هذا الفصل بشكل أساسي لنمذجة النماذج الرياضية؛ نماذج SIR وSEI وSEIR كسلسلة ماركوف. في هذا الفصل قمنا بحساب المصفوفة الأساسية لنموذج SIR المرتبط بمصفوفة LC-SBT. استخدمنا طريقة تقليل الحالة لحساب MFPT’s لنموذج SEI المرتبط بمصفوفة FC-SBT. كما حصلنا على صيغة مغلقة لاحتمالات الحالة المستقرة لنموذج SEIR لمصفوفة LC-SBT. تم تقديم خوارزميتين حسابيتين بواسطة برنامج mathematica لحساب MFPT’s و حساب احتمالات الحالة الثابتة لـنموذج سير عشوائي غير متجانس (NHMC-RW).